「2024年高级统计师考试资料」平均数、中位数区别

对于一组庞大的数据，我们无法分析所有数据，就需要选取合适的代表值来表达这组数据的特征，平均数无疑是最重要的代表值，它可以直观、简明地表示数据情况。平均数不仅可以用来反映一组数据的一般情况，还可以用它进行不同组数据的比较，得出组与组之间的差别。统计学上的平均数有数值平均数和位置平均数，前者包括算术平均数和几何平均数，后者包括中位数、众数。日常应用中， 以“平均数”指代数值平均数，“中位数”作为位置平均数应用较多。

一、平均数

（一）算术平均数。

算术平均数分为简单算术平均数、加权算术平均数。

1. 简单算术平均数。主要用于处理未分组整理的数据。设一组数据为 X1， X2，...，Xn，简单算术平均数的计算公式为：

2.加权算术平均数。主要用于处理经分组整理的数据。设原始数据被分成K 组，各组的组中值为 X1，X2，...，Xk，各组的频数分别为 f1，f2，...，fk，加权算术平均数的计算公式为：

（二）几何平均数。

几何平均数是指 n 个观察值连乘积的 n 次方根，适用于对比率数据的平均， 主要用于计算数据平均增长（变化）率。几何平均数分为简单几何平均数与加权几何平均数。

简单几何平均数的计算公式：

加权几何平均数的计算公式：

具体实例如下：

假定某地储蓄年利率（按复利计算）分别是 5% 持续 1.5 年，3% 持续 2.5 年，2.2% 持续 1 年，则 5 年内该地平均储蓄年利率为

（三）平均数的作用。

平均数既可以用它来反映一组数据的一般情况和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，分析组与组之间的差别。用平均数能直观简明表示一组数据的情况，如平均速度、平均身高、平均产量、平均成绩、平均收入等等。例如， 我们要比较北京和山西两地居民收入水平，无法将这两个地方的每一个家庭的收入一一进行比较，最简单直接的方法就是比较两地居民的平均收入水平。

算术平均数是最常用的一种平均指标，几何平均数多用于计算比率平均数 ,它受极端值影响较算术平均数小。

二、中位数

中位数，又称中值，指按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数。也就是说，一组数据中，有一半的数据比中位数大，有一半的数据比中位数小。这里用来表示中位数。

（一）计算方法。

将一组数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那 2 个数据的算术平均值就是这群数据的中位数。

（二）具体实例。

例 1：找出这组数据：23、29、20、32、23、21、33、25 的中位数。

先将该组数据进行排列（这里按从小到大的顺序），得到：20、21、23、23、25、29、32、33。因为该组数据一共由 8 个数据组成，n 为偶数，中位数是第四个数和第五个数的平均数即 (23+25)/2=24。

例 2：找出这组数据：10、20、20、20、30 的中位数。

先将该组数据进行排列（这里按从小到大的顺序），得到：10、20、20、20、30。因为该组数据一共由 5 个数据组成，n 为奇数，中位数为第3 个数即20。

（三）中位数的作用。

中位数不易受一组数据中极端数值的影响，常用它来描述一组数据的集中趋势。假设比尔 ? 盖茨和十几个穷人在一个房间里，这个房间里十几个人的平均收入就都超过亿元。因为比尔 ? 盖茨和穷人的收入差距过大，导致平均数值缺乏实际参考意义。但如果用中位数来衡量，就知道这房间里起码有一半人是穷人，有助于了解普通民众的收入水平。

三、平均数与中位数的局限性

平均数易受一组数据中极端数值的影响。比如，某地有五个人，某月工资分别是 1000 元，1000 元，1300 元，1700 元，20000 元。那么，月工资 1300 元就是五个人工资的中位数；而该五个人的平均工资为 5000 元。下个月，最高工资者工资大幅度下降变为 5000 元，这五个人工资中位数不受最大值变化的影响还是1300 元，但五个人该月的平均工资则受最大值变动影响非常大，从原来的 5000元下降到 2000 元。

中位数也有局限性，主要是中位数不能推算总量和结构。比如我们要核算居民消费总量时，需要居民消费的平均数与人口规模相结合。

四、平均数和中位数结合使用

中位数可以和平均数一起使用分析一组数据的平均情况。当数列是正态分布， 中位数与平均数具有相同的值；当数列是正偏态分布，中位数位于平均数的左侧， 小于平均数；当数列是负偏态分布时，中位数位于平均数的右侧，大于平均数。因此，我们可以根据居民人均可支配收入的中位数、平均数的大小判断分布形态。2019 年，我国居民人均可支配收入是30733 元，中位数26523 元，呈现正偏态分布。